Кручение статически неопределимого стержня. Статически неопределимые задачи кручения Расчет цилиндрических винтовых пружин
4.4. Статически неопределимые задачи кручения
Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В
одно уравнение равновесия: :
входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.
Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">
Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то
Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении
4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения
https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)
https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.
Здесь и - зависят от отношения .
Коэффиценты. | Отношение большей стороны сечения к меньшей . |
||||||||
Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.
4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней
Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.
Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то
..gif" width="42" height="26">.
Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнитрезервы для конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стержней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система является плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1 N 2 sin = 0;N 2 cos Р = 0.
Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неизвестных усилия в стержнях. Получсистема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) уравнений равновесия, связывающих эти усилия, называется степенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число независимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически
Статически неопределимые задачи на кручение
При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, решение которых не может быть получено с помощью одних только уравнений равновесия. Число неизвестных в таких задачах превышает число уравнений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач на растяжение - сжатие.
брус стержень деформация кручение
Отсюда определяем TA и подставляем в для определения TB
Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля.
Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.
Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого имеет достаточно общую форму.
t - меняется достаточно медленно
Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называются средней линией сечения.
Возникающие при кручении касательные напряжения постоянны по толщине и направлены по касательной к средней линии.
Произведение касательного напряжения на толщину есть величина, постоянная для всех точек средней линии сечения.
Спроецируем все силы на направление оси стержня.
На внешней поверхности нагрузки отсутствуют, и следовательно, по закону парности касательных напряжений.
2. Касательные напряжения во внешних углах обращаются в нуль.
Парные касательных напряжений, действующие на внешней поверхности должны быть равны нулю. Следовательно, и
Решение, полученное методами теории упругости, для бруса прямоугольного сечения имеет следующую эпюру
Стержни, работающие на кручение за пределами упругости
Конструкция потеряет несущую способность при кручении в том случае, когда сечения первого и второго участков будут полностью охвачены пластическими деформациями.
Т.е. Т1 = Т1u Т2 = Т2u
Из условий равновесия Тu = T1u + T2u
Для определения T1u и T2u рассмотрим конкретные формы поперечного сечения
Круглое сечение
Кольцевое сечение
Тонкостенное сечение ()
площадь, ограниченная средней линией контура
Квадратное сечение
См. песочная аналогия
где V - объём поверхности постоянного ската с углом 450
Примечание: При нескольких внешних моментах необходимо рассмотреть несколько кинематически возможных состояний.
Свяжем Т с касательными напряжениями.
Элементарный момент относительно точки О.
где интегрирование распространяется на всю длину контура s.
Определить наибольшее напряжение в трубчатом стержне, если Т=1500 Н.м
Мембранная аналогия при кручении
Задача о кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой на контур того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.
Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с поверхностного контура.
Т - Аналогом крутящего момента является объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.
Характер деформации пленки под действием давления можно представить хотя бы ориентировочно. Таким образом, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении бруса с заданной формой сечения.
При помощи мембранной аналогии можно получить не только качественные, но и колличественнные соотношения. Для этого используется не сложный прибор, который замеряет прогибы с помощью микрометра. Использование гидростатического давления жидкости для нагружения мембраны позволяет определить крутящий момент по объему жидкости между мембраной и плоскостью. Для тарировки приборов такого типа могут быть использованы простейшие поперечные сечения, для некоторых известны аналитические решения.
При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.
Задачи расчета на кручение являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.
Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом ЗЛ на расстоянии а от левого конца (рис. 23.6, а).
Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия - в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:
где и - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.
Дополнительное уравнение для решения рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 23.6, б).
Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е. так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться.
На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид
Здесь - угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента (рис. 23.6, в); - угол поворота левого конца от действия внешнего момента (рис. 23.6, г).
По второй из формул (14.6), учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. ), и по формуле (13.6) находим
Подставим эти значения в уравнение перемещений:
Из уравнения равновесия
После определения моментов и эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 23.6, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на рис. 23.6, е.
Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.
Построим такую эпюру для бруса по рис. 23.6, д, учитывая при этом, что значение уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 23.6, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние от правого конца, повернется на угол [см. вторую из формул (14.6)]
Здесь - угол закручивания на участке длиной определяемый по формуле (13.6).
Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния Подставляя в полученное выражение найдем угол поворота сечения С:
Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.
Для построения эпюры на участке СВ вычислим угол поворота сечения В. На основании второй из формул (14.6) и формулы (13.6)
Этот результат подтверждает правильность решения задачи, так как по условию сечение В заделано жестко. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.
Построенная по полученным значениям эпюра углов поворота представлена на рис. 23.6, ж.
При действии на брус нескольких внешних скручивающих моментов, а также для брусьев, имеющих на отдельных участках разные поперечные сечения, составление дополнительного уравнения производится способом, аналогичным показанному (см. пример 5.6).
При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.
Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль оси пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима. Если же оба конца пружины неподвижно закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси. Составление дополнительных уравнений для такого типа задач рассмотрено выше в § 9.2 (см. также пример 3.6).
Кручение стержня круглого сечения – условие задачи
К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема
Рис. 3.8
Решение задачи кручение стержня круглого сечения
Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке
Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).
Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.
Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.
Строим эпюру крутящих моментов
Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».
Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.
Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.
Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков
кН·м.
Сечения 2 – 2 и 3 – 3:
Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда
кН·м.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим
Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.
Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.
Определяем диаметр вала из условия прочности
Условие прочности при кручении имеет вид
,
где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).
Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.
Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле
см.
Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.
Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания
Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим
Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:
рад;
рад;
рад;
рад.
Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда
Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.
Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения
Условие задачи на кручение "круглого" стержня
Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).
Требуется:
· построить эпюру крутящих моментов;
· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;
· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения
Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения
Номер схемы | ||||||||
|